Contando cubinhos

   Imagine que a sequência de torres (onde a primeira tem 1 cubo em sua base, a segunda tem 4, a terceira, 9, e etc.) continua formando novas figuras construídas da mesma forma que estas que você vê. 

   Tente responder:

• Quantos cubinhos formam a base da quarta figura? E da quinta? E da 32ª figura?

• Agora conte o total de cubinhos em cada figura. Na primeira há 1 cubinho; na segunda, 5; na terceira, há 14 cubinhos. Quantos cubinhos existem na oitava figura?

 » Resolução:

 
Na figura 1, temos uma base 1x1, o que nos da 1 cubinho apenas;
Na figura 2, temos uma base 2x2, o que nos da 4 cubinhos de base;
Na figura 3, temos uma base 3x3, totalizando 9 cubinhos;

Da mesma forma, teremos uma base 4x4 na figura 4, o que nos permite afirmar que teremos 16 cubinhos formando esta base; Para a figura 5, serão 5x5 = 25 cubinhos preenchendo a base; Fazendo, por fim, 32x32, teremos um total de 1024 cubinhos na base da 32ª figura.

Em relação ao número total de cubinhos em cada figura, basta observar que, a partir da segunda, cada figura é formada pelo número de cubinhos de sua base somado ao número total de cubos da figura anterior. Ou ainda, cada figura será formada pelo número de cubinhos equivalente à soma dos cubinhos de sua base com a soma dos cubinhos de todas as bases anteriores. Assim, uma figura na posição n terá como total de cubinhos n² + (n-1)² + ... + 1.

Assim, a primeira figura terá 1 cubinho;
A segunda figura terá 2² + 1 = 5 cubinhos;
A terceira terá 3² + 2² + 1 = 14 cubinhos;
Finalmente, a oitava figura terá, ao todo, 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1 = 204 cubinhos.